Fraktale Geometrie der Natur – Prägende Arbeiten des Mathematikers Benoît Mandelbrot Quelle: Foto erzeugt durch Applikation "Frax" von Kai Krause

Mandelbrot und Momentum: Fraktale in der Finanzmathematik

Autor: Dr. Wilhelm Berghorn

Eine Aktienzeitreihe ist nicht glatt, ein Felsbrocken ist keine Kugel und eine Küstenlinie ist keine gerade Linie. Benoît Mandelbrot hat 1975 hierfür den Begriff „Fraktal“ geprägt. Diese Arbeiten haben ein großes Feld bereitet, welches heute als Theorie von Chaos und Fraktalen zusammengefasst werden kann.

Dr. Wilhelm Berghorn ist Gründer von Mandelbrot Quantitative Research UG sowie der Mandelbrot Asset Management GmbH. Er hat Mathematik und Informatik studiert und wurde im Jahr 1999 in der Mathematik promoviert. In seiner Diplomarbeit und in seiner Promotion beschäftigte er sich mit der Anwendung von Wavelet-Analysen. Foto: Manjit Jari Quelle: Mandelbrot

In der Chaostheorie werden nicht zufällige dynamische Systeme, wie beispielsweise magnetische Pendel, betrachtet, die im zeitlichen Ablauf unvorhersehbar erscheinen und als deterministisches Chaos bezeichnet werden. Bei den Fraktalen dagegen liegen oftmals einfachste mathematische Ersetzungsregeln zu Grunde. In beiden Segmenten können in sich wiederkehrende Strukturen erzeugt werden, die selbstähnlich sind. Bekanntestes Beispiel ist in diesem Zusammenhang die sogenannte Mandelbrot-Menge, die ein unendliches Vergrößern der Strukturen erlaubt, und die rekursiv die Mandelbrot-Menge wiederum in sich trägt.

Momentum-Serie

Momentum-Strategien sind als Renditealternativen derzeit stark gefragt, aber nicht jedem Investor sind die Grundlagen dafür präsent. In einer Serie zum Momentum-Effekt bereitet Dr. Wilhelm Berghorn deswegen kompakt und anschaulich die jahrzehntelange Kapitalmarktforschung renommierter Forscher wie Benoît Mandelbrot oder Nobelpreisträger wie Eugene Fama auf.

Was hat das Ganze aber nun mit Finanz-Marktdaten zu tun? Nach seinen bahnbrechenden Arbeiten im oben genannten Gebiet widmete sich Benoît Mandelbrot in den 90er Jahren wiederum dem Finanzbereich und legte ein weiteres Model, nämlich die Multi-Fraktale in Preiszeitreihen, vor. In einer großen Gründungsserie für das heute im quantitativen Bereich renommierteste Journal „Quantitative Finance“ fasste er seine Sichtweise der Märkte zusammen. Hierbei beschrieb er einen fraktalen rekursiven Konstruktionsprozess für Preiszeitreihen, der Trends rekursiv in kleinere Trends zerlegt. Diese Konstruktionsweise hielt er für unvollständig und gab dieser den Namen „Cartoons“.

Aber was ist ein Trend?

Umgangssprachlich scheint die Antwort geradezu trivial zu sein, so dass es keiner weiteren Klärung bedarf. Mathematisch ist es aber alles andere als klar. So wie der Begriff „Zufall“ mathematisch nicht definiert, sondern ein philosophischer Begriff ist, verhält es sich mit Trends. Wenn man mathematisch über Trends reden möchte, muss man zwei Dinge festlegen: Die genaue Messmethodik sowie die Skala, mit der gemessen wird. Am Beispiel der oft verwendeten gleitenden Mittelwerte wird dies deutlich: Die Methodik ist die Mittelung der Kurse an sich, und der betrachtete Zeitraum, beispielsweise 200 Tage, gibt die Skala oder Granularität der Analyse an. Jeder Praktiker weiß, dass diese Art der Analyse Unschärfen unterliegt, die sich mit Ausweitung des Analyse-Fensters auch noch vergrößern. Hier setzen wir mit einem Verfahren aus der Signaltheorie an: der Wavelet-Trendzerlegung.

Wavelets

Die Theorie der Wavelets war in den 80er und 90er Jahren ein „Blockbuster“-Thema in der Mathematik. Wurde konventionell in der Signalanalyse mit unendlich langen Schwingungen, wie unter anderem Cosinus, gearbeitet, sind Wavelets kurze und begrenzte Schwingungen. Wavelets kommt aus dem Englischen und bedeutet die Verniedlichung von Welle. Diese Schwingungen sind per Konstruktion wiederum selbstähnlich und haben nun Eingang in viele technische Innovationen, zum Beispiel in der Bilddatenkompression, wie Standards JPEG 2000, MPEG-4, gefunden.

Mit Hilfe dieser Theorie und einem weiteren Verfahren aus der Chaostheorie lässt sich eine äußerst präzise Trendzerlegung konstruieren, die beliebige Zeitreihen, so auch den DAX Performance-Index, anhand einer Skala in Trends oder Sichtbarkeitsstrukturen zerlegt:

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Quelle: Mandelbrot Asset Management

Das Verfahren hat dabei die Eigenschaft, dass es signaltheoretisch optimal ist, das heißt also, dass keine andere Messmethodik präziser vermessen kann. Schon mit bloßem Auge erkennt man, dass hier Trends fraktale Charakteristiken haben und grobe Trends, also große Skala, aus kleineren Trends, also kleinere Skala, zusammengesetzt werden. Auch sieht man sofort, dass auf einer festgewählten Skala, beispielsweise 20, Trends unterschiedlich lang sind. Mathematisch ist es allerdings noch härter: Die Trendlängen – aber auch weitere Charakteristiken – folgen fast überall in Aktien einer log-normalen Verteilung. Trends sind so beliebig lang oder kurz sowie steil oder flach, und man kann diese als zufällig annehmen. Weiter sind Trends selbstähnlich und erzeugen die für Fraktale so typischen Potenzgesetze. In den Trendlängen liegt dann auch der Grund, warum Momentum in der klassischen Finanzmathematik nicht vorkommen kann, dieser Effekt aber real existiert. Trends in realen Daten sind teilweise viel länger als in den klassischen Modellen. Wir wollen dies in der nachfolgenden Tabelle an dramatischen Beispielen illustrieren, die man in einer klassischen Momentum-Strategie auf den Prime-Standard – 12 Monatsrendite als Momentum-Maß sowie monatliches Rebalancing – findet:

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Hinweis: Bei den hier angegebenen Daten handelt es sich um keine Finanzanalyse. Hiermit ist weder direkt noch indirekt eine Aktien- oder Strategieempfehlung verbunden; Die Daten dienen lediglich der Demonstration der Analysetechniken und Steuerungsprozesse im Rahmen der Fondsverwaltung. Quelle: Mandelbrot Asset Management

Erläuterungen zur Tabelle

Für die Periode 2005 bis Ende 2013 (zehn Jahre) führen wir eine klassische Momentum-Strategie mit 10% der Aktien aus dem Prime-Standard aus. Das monatliche Ranking wird anhand der 12 Monatsrenditen ausgeführt. Die 10% der Aktien mit dem höchsten Ranking kommen in das Portfolio. Es werden dann die Trends der Wavelet-Trendzerlegung ausgewertet, die die Haltedauer im Portfolio am engsten umfassen können. Wir geben in der Tabelle dann pro Aktie die Haltedauer in Tagen im Momentum-Portfolio an. Die Spalte Wavelet-Skala beschreibt, auf welcher Skala der Trend, der ausgenutzt wird, sichtbar ist. Die Spalte Trendlänge in Tagen beschreibt dann die Länge des Trends, der ausgenutzt wird. Tägliche Rendite und tägliche Schwankung sind die Rendite-Risiko-Kennzahlen des Trends. Absolute Rendite des Trends misst den Renditeanstieg im Trend. Die letzten beiden Spalten stellen über sogenannte Monte-Carlo -Simulationen die Wahrscheinlichkeit dafür dar, wie häufig man diese Art der Trends in dem klassischen Finanzmarktmodel, dem Random Walk, sieht.

Fast alle Aktien aus diesem Beispiel werden in der Momentum-Strategie über zwei Jahre gehalten. Stellt man sich über geeignete Simulationstechniken die Frage, ob man solche steilen und langen Renditepfade in dem klassischen finanzmathematischen Model eines Random Walks sehen würde, dann ist die Antwort, dass dies fast nicht vorkommt.

Über die Potenzgesetze, die die Skalierung der Länge von Trends von kleinen zu großen Skalen beschreiben, kann man dann ableiten, dass reine Zufallsprozesse, wie zum Beispiel ein Random Walk, ganz anders skalieren als die reinen Marktdaten. Wir haben diese Messgröße Momentum-Exponent genannt. Diese korreliert statistisch mit der Haltedauer von Aktien. Sie ist ein Indikator für überlange Trends.

Aber auch Benoît Mandelbrots Vorschlag, Trends rekursiv zu zerlegen und dann hieraus ein Modell abzuleiten, lässt sich mit dieser Trend-Zerlegung umsetzen. Das nach ihm benannte fraktale Mandelbrot Markt-Modell zeigt den Momentum–Effekt. Es zeigt aber auch gleichzeitig, dass die Märkte wesentlich riskanter sind als es die klassischen Modelle annehmen - eine Grundbehauptung von Mandelbrot.

Was ist nun Momentum?

Nimmt man Benoît Mandelbrots erste Modelle von 1968 – die gebrochen Brownsche Bewegung – dann zeigt sich, dass die Aktien weltweit zu über 90% „trenden“. Mandelbrot hat dies – weit vor unseren Experimenten – modellkonform als Langzeitgedächtnis des Marktes interpretiert. Neueste Ergebnisse lassen allerdings den Schluss zu, dass dieses „Trenden“ kein Langzeitgedächtnis ist, sondern diejenigen Trends misst, die wir mit unserer Trendzerlegung modelliert haben. Damit entsteht auch eine neue Sichtweise auf Momentum. Momentum allokiert renditestarke und damit höher volatile Aktien. Signaltheoretisch sind dies kürzere, heftige Kursbewegungen, die aufgrund der statistischen Trendlängen-Verteilung, der Lognormal-Verteilung, dann eine höhere Wahrscheinlichkeit der Trendfortsetzung haben. Hierunter finden sich dann ebenfalls Aktien mit extrem langen Trends und signifikanten weiteren Rendite-Anstiegen.

Benoît Mandelbrots Vision der fraktalen trendinduzierten Märkte ist damit analog zu seinem Ursprungsmodell, der gebrochen Brownschen Bewegung von 1968, eine weitere Sichtweise, die wesentlich für das Verständnis für den Momentum-Effekt ist. Beide Sichtweisen lassen den Momentum-Effekt zu, der in dem engen Korsett der Theorie der Effizienten Märkte nicht existieren kann, gleichzeitig aber fast in allen Märkten nachgewiesen ist. 

Über Mandelbrot Asset Management

Auf der Website www.mandelbrot.de finden Sie viele weitere Analysen zur Kapitalmarkttheorie und dem Mandelbrot-Markt-Model, welche Mandelbrot Asset Management auch in drei Fonds umsetzt:

Autor: Dr. Wilhelm Berghorn
Erscheinungsdatum: 23.08.2018